Medidas Repetidas e Modelos Mistos

Delineamento
Modelos
Quando há várias observações por unidade: ANOVA e modelos mistos.

0 Duas Medições

Suponham que medimos o stress das mesmas pessoas antes e depois de uma intervenção. Para cada pessoa temos duas observações.

Em formato largo, a estrutura é quase impossível de esconder:

Pessoa Antes Depois Diferença
1 7 5 -2
2 4 3 -1
3 8 6 -2
4 5 5 0

Se queremos saber se as pessoas mudaram, começamos pela operação mais simples possível, linha a linha:

\[ D_i=Y_{i,\text{depois}}-Y_{i,\text{antes}}. \]

Cada pessoa passa de duas observações para uma mudança. Em vez de comparar pessoas que podem ter níveis basais muito diferentes, comparamos cada pessoa consigo própria.

A pergunta «há uma mudança média entre antes e depois?» torna-se «a média das diferenças é diferente de zero?». O teste-t emparelhado é, portanto, um teste-t de uma amostra aplicado aos (D_i):

\[ t=\frac{\bar D}{SE_{\bar D}}. \]

Este é um delineamento intra-participantes, também chamado intra-sujeitos (within-subjects): as mesmas pessoas contribuem nos dois momentos. Com pessoas diferentes em cada nível, o factor seria inter-participantes ou inter-sujeitos (between-subjects).

Esta é a ideia central das medidas repetidas na sua forma mais simples. Sabemos quais observações pertencem à mesma pessoa e usamos essa ligação para separar diferenças estáveis entre pessoas da mudança dentro da pessoa.

Em formato longo, as duas observações aparecem em linhas diferentes e precisamos de um identificador para saber quais devem ser emparelhadas. A organização dos dados muda; a ideia estatística não.

DicaA Unidade Continua a Ser a Pessoa

Duas medições de 35 pessoas produzem 70 valores, mas continuam a existir 35 unidades acompanhadas ao longo do tempo. O emparelhamento usa precisamente essa estrutura.

1 E Com Três ou Mais Medições?

Agora medimos as mesmas pessoas de manhã, à tarde e à noite. Já não existe uma única subtracção que resuma toda a pergunta. Há várias diferenças possíveis.

Podíamos calcular tarde − manhã, noite − manhã e noite − tarde. Mas a pergunta geral «o nível médio de stress muda ao longo do dia?» é uma hipótese complexa. Queremos poder testá-la de uma só vez.

Se tivermos 35 pessoas e três medições por pessoa, a base em formato longo tem 105 linhas. Continuamos a ter 35 unidades, cada uma observada três vezes.

O gráfico liga as observações da mesma pessoa:

Algumas pessoas têm valores sistematicamente mais altos; outras, sistematicamente mais baixos. Isso é variação entre pessoas. A pergunta sobre o momento é uma pergunta sobre mudança dentro da pessoa.

Com duas medições, a subtracção separava imediatamente estas duas coisas. Com três ou mais, queremos preservar a mesma ideia sem reduzir o problema a uma lista crescente de subtracções.

2 ANOVA de Medidas Repetidas

Pôr a Unidade no Modelo

No capítulo de comparação de modelos, vimos como uma ANOVA de um factor passa de uma média comum para uma média por grupo. O modelo representa essas diferenças com (k-1) coeficientes de contraste. Aqui fazemos o mesmo para as pessoas: unidade é uma variável categórica com um nível por pessoa.

Com 35 pessoas, o modelo inclui um intercepto e 34 coeficientes de contraste para representar as diferenças entre as suas médias. São coeficientes multiplicados pelos valores das colunas de contraste, tal como acontecia com os factores do capítulo anterior. Não são declives em função do tempo: os valores de cada contraste são constantes para as observações da mesma pessoa, pelo que, graficamente, alteram o nível previsto para essa pessoa, como interceptos próprios.

Podemos tornar isto visível com três pessoas e contrastes de soma zero (contr.sum). Para três níveis, precisamos de dois contrastes: cada coluna soma zero e usa valores -1, 0 e 1. O intercepto passa a representar a média das três previsões (7), e os coeficientes dos contrastes são -3 e +1.

Pessoa Intercepto Contraste 1 Contraste 2 Previsão
A 1 1 0 4
B 1 0 1 8
C 1 -1 -1 9

A equação é (y=7-3C_1+1C_2). Assim, para A obtemos (7-3=4); para B, (7+1=8); para C, (7+3-1=9). Os coeficientes multiplicam os contrastes, como em qualquer modelo linear. Contudo, estes preditores só assumem os valores discretos definidos pela codificação: obtemos um nível previsto por pessoa, não um declive contínuo entre pessoas.

Cada ponto é uma previsão por pessoa. A linha pontilhada marca a média geral (7); os segmentos verticais mostram o efeito conjunto dos contrastes em cada pessoa, não um declive contínuo.

O segmento de A representa -3, o de B representa +1 e o de C representa +2 (a soma das duas contribuições, pois ambos os contrastes valem -1 para C). Com 35 pessoas, o princípio é o mesmo: 34 contrastes e 35 níveis previstos. A codificação muda a interpretação dos coeficientes, mas não as previsões ajustadas.

Começamos por permitir essas diferenças entre pessoas, sem ainda introduzir um efeito comum de momento:

m_unidade <- lm(resposta ~ unidade, data = ds)

Depois libertamos as diferenças entre momentos:

m_unidade_momento <- lm(resposta ~ unidade + momento, data = ds)

O primeiro é o modelo compacto: as pessoas podem ter médias diferentes, mas não há uma mudança média entre momentos. O segundo é o modelo aumentado: mantém as diferenças entre pessoas e permite também diferenças entre momentos.

anova(m_unidade, m_unidade_momento)
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
70 20286.35 NA NA NA NA
68 13711.37 2 6574.98 16.30393 1.6e-06

A comparação pergunta: depois de termos em conta que as pessoas têm níveis médios diferentes, ganhamos explicação ao permitir diferenças entre manhã, tarde e noite?

Este não é necessariamente o modo como vamos pedir a análise ao R no trabalho prático. Aqui serve para mostrar os dois modelos que estão a ser comparados. A implementação fica no tutorial prático.

Com apenas dois momentos, esta comparação testa a mesma hipótese que o teste-t emparelhado e (F=t^2). A ANOVA de medidas repetidas prolonga, portanto, a lógica que acabámos de ver com uma única diferença por pessoa.

O F de Medidas Repetidas

Num delineamento unifactorial, completo e equilibrado, com uma observação por pessoa e momento, podemos escrever:

\[ SS_{total} = SS_{unidade} + SS_{momento} + SS_{unidade\times momento}. \]

A parte unidade × momento diz-nos quanto os perfis individuais se afastam do perfil médio. Com uma única observação por célula, ela também contém variação residual que não conseguimos separar.

Para testar momento, usamos:

\[ F= \frac{MS_{momento}} {MS_{unidade\times momento}}. \]

Não é uma fórmula nova. É o mesmo raciocínio do F do capítulo anterior: melhoria atribuível à parte do modelo que libertámos, dividida pelo erro que ainda ficou e que é apropriado para essa pergunta.

Nos nossos dados,

\[ MS_{momento} = \frac{SS_{momento}}{df_{momento}} = \frac{6574.98}{2} = 3287.49, \]

e

\[ MS_{erro} = \frac{SS_{unidade\times momento}}{df_{erro}} = \frac{1.371137\times 10^{4}}{68} = 201.64. \]

Logo,

\[ F = \frac{3287.49} {201.64} = 16.3. \]

O software transforma depois este F num valor-p. Não precisamos de redefinir aqui o valor-p: usamos exactamente a interpretação introduzida em Do t ao Valor-p.

O que mudou neste capítulo foi qual é o erro adequado ao delineamento e, portanto, como construímos a estatística F; a lógica da inferência é a mesma.

ImportanteO Que a Unidade Fez

Ao pôr unidade no modelo, não «apagámos pessoas» nem corrigimos os dados.

Separámos duas perguntas:

  • quanto variam as pessoas entre si?
  • quanto varia a resposta dentro da mesma pessoa entre momentos?

Para testar momento, a segunda é a fonte de variação relevante.

Da Ideia à Implementação

A comparação acima torna visível a lógica do modelo. Delineamentos repetidos mais complexos exigem uma representação adequada da dependência. A sintaxe e o fluxo de trabalho ficam no tutorial prático.

Limites do lm()

O modelo

y ~ unidade + momento

é uma excelente ponte pedagógica para um único factor intra-unidades. Mas não é uma solução geral para todos os delineamentos repetidos.

Com dois factores repetidos, por exemplo, A e B, os testes clássicos usam fontes de erro diferentes para A, B e A × B. Aparecem componentes como

\[ SS_{unidade\times A},\qquad SS_{unidade\times B},\qquad SS_{unidade\times A\times B}. \]

Um único resíduo do modelo y ~ unidade + A * B não reproduz automaticamente todos esses denominadores.

Também há outro problema. Suponham que cada colónia pertence a uma espécie e é medida várias vezes. species não varia dentro da colónia. Se dermos um coeficiente fixo separado a cada colónia, podemos absorver precisamente as diferenças entre colónias que seriam necessárias para estudar species.

Portanto, a construção com lm() serve para ver a lógica, não para substituir todas as ANOVAs repetidas ou todos os modelos mistos.

Esfericidade

Com dois momentos há apenas uma diferença possível. Com três momentos já temos, por exemplo:

  • manhã − tarde;
  • manhã − noite;
  • tarde − noite.

A ANOVA univariada clássica com três ou mais níveis precisa de uma condição sobre a forma como estas diferenças variam. Essa condição chama-se esfericidade.

Uma forma intuitiva de a ler é esta: o teste clássico não quer que uma diferença entre dois níveis seja tremendamente mais variável do que outra de uma forma que o seu denominador não representa.

Quando a esfericidade não é plausível, correcções como Greenhouse–Geisser e Huynh–Feldt ajustam os graus de liberdade do teste (Greenhouse & Geisser, 1959; Huynh & Feldt, 1976). Não alteram os dados e não tornam as observações independentes.

Para um factor intra-unidades com vários níveis, a esfericidade pode ser expressa em termos da matriz de covariância das medidas repetidas. Uma formulação equivalente exige que todos os contrastes normalizados do efeito tenham a mesma variância.

No caso simples de um único factor repetido, isto corresponde à conhecida condição de igualdade das variâncias das diferenças entre pares de níveis.

As correcções Greenhouse–Geisser e Huynh–Feldt estimam quanto a estrutura se afasta da condição ideal e reduzem os graus de liberdade usados no teste F.

Quando a ANOVA Fica Apertada

A ANOVA de medidas repetidas é especialmente cómoda quando temos poucas condições bem definidas, um delineamento quase completo e uma observação ou um resumo por unidade × condição.

Começa a ficar menos natural quando aparecem:

  • observações em falta;
  • números diferentes de medições por unidade;
  • tempos irregulares;
  • várias unidades de agrupamento;
  • ensaios individuais dentro de condições;
  • efeitos que podem variar de unidade para unidade.

É aqui que os modelos mistos deixam de parecer uma técnica nova e passam a parecer a continuação natural da mesma pergunta: como representamos a estrutura que sabemos que existe nos dados?

3 Modelos Mistos

NotaOutra Dívida Pedagógica

A forma de introduzir modelos mistos neste material também deve bastante a Barr (2021), Learning Statistical Models Through Simulation in R, da PsyTeachR. Em particular, a simulação, a leitura de interceptos e declives aleatórios e a passagem de modelos lineares para estruturas de agrupamento são excelentes complementos a esta página. Aqui fazemos um percurso diferente: partimos de medidas repetidas, replicação e exemplos de psicologia e ecologia, mas a dívida pedagógica merece ficar explícita.

Um modelo misto mantém os efeitos que representam a nossa pergunta científica, mas acrescenta componentes que representam variação entre unidades.

Interceptos Aleatórios

Suponham várias medições de cada colónia. Algumas colónias podem ter valores sistematicamente altos e outras sistematicamente baixos.

Um intercepto aleatório permite essa variação de nível basal:

lme4::lmer(y ~ x + (1 | colonia), data = dados)

A parte (1 | colonia) diz, em linguagem informal:

«As colónias podem começar em níveis diferentes; quero estimar quanto esses níveis variam.»

As observações da mesma colónia passam a partilhar essa componente. É assim que o modelo representa parte da correlação entre linhas da mesma unidade.

Um modelo simples pode ser escrito como

\[ Y_{ij} = \beta_0+\beta_1X_{ij}+u_{0j}+\epsilon_{ij}, \]

com

\[ u_{0j}\sim N(0,\tau_0^2). \]

O índice (j) identifica a unidade. Duas observações da mesma unidade partilham (u_{0j}), e é essa componente partilhada que produz covariância entre elas no modelo marginal.

Agrupamento Parcial

Já vimos duas maneiras de lidar com as diferenças entre unidades. No modelo lm(resposta ~ unidade + momento), cada pessoa recebe os seus próprios coeficientes de contraste, estimados como efeitos fixos. Se ignorarmos unidade, todas as observações partilham o mesmo intercepto, mesmo que pertençam a pessoas ou colónias diferentes.

O intercepto aleatório dá-nos uma terceira possibilidade. Continuamos a estimar um intercepto geral e o efeito fixo de x, que responde à pergunta científica. Mas também estimamos quanto variam os níveis basais entre colónias. Essa variância permite ao modelo estimar um desvio particular para cada colónia, sem tratar cada desvio como um parâmetro fixo independente.

É aqui que entra o agrupamento parcial (partial pooling): para estimar os desvios, o modelo usa tanto as observações da própria colónia como a distribuição de variação entre colónias. Com poucas observações ou dados muito ruidosos, a estimativa de uma colónia tende a ficar mais próxima do intercepto geral. Com informação abundante e precisa, pode afastar-se mais. Este compromisso é frequentemente chamado shrinkage.

Assim, interceptos aleatórios dizem-nos o que pode variar; partial pooling descreve como os desvios das unidades são estimados num modelo que partilha informação entre elas. Não são duas alternativas. O efeito fixo de x continua a representar a tendência comum, enquanto a variação entre colónias é modelada para representar a dependência e a heterogeneidade relevantes para a inferência. Os desvios aleatórios não são necessariamente desinteressantes: a sua variância pode também ser uma quantidade substantivamente importante.

Um modelo linear misto pode ser escrito como

\[ \mathbf y = \mathbf X\boldsymbol\beta + \mathbf Z\mathbf u + \boldsymbol\epsilon. \]

(X) contém os efeitos fixos; (Zu) distribui os efeitos aleatórios pelas observações. A inferência exige estimar também as variâncias e covariâncias associadas a (u), normalmente por máxima verosimilhança ou REML.

Os algoritmos usados para o fazer são importantes para quem estuda computação estatística, mas não são necessários para interpretar (1 | colonia).

Declives Aleatórios

Uma unidade pode diferir não só no ponto de partida, mas também na resposta ao preditor.

Talvez todas as colónias tenham, em média, maior metabolismo a temperaturas mais altas, mas algumas reajam muito e outras pouco. Nesse caso faz sentido perguntar se o declive varia entre colónias:

lme4::lmer(y ~ temperatura + (temperatura | colonia), data = dados)

O efeito fixo de temperatura descreve a tendência média. O declive aleatório permite que cada colónia se afaste dessa tendência.

Há uma regra conceptual muito simples:

só pode variar entre unidades um efeito que tenha sido observado dentro dessas unidades.

Se cada colónia só aparece a uma única temperatura, os dados não nos mostram um declive de temperatura para cada colónia. Um modelo não consegue inventar essa informação.

Podemos escrever

\[ Y_{ij} = (\beta_0+u_{0j}) + (\beta_1+u_{1j})X_{ij} + \epsilon_{ij}. \]

O modelo pode ainda estimar a covariância entre (u_{0j}) e (u_{1j}): unidades com níveis basais mais altos podem ter, por exemplo, declives sistematicamente maiores ou menores. Essa estrutura adicional precisa de dados suficientes para ser estimada.

Efeitos Fixos e Aleatórios

Não usem a regra «poucos níveis = fixo; muitos níveis = aleatório». O número de níveis afecta aquilo que conseguimos estimar, mas não define sozinho a pergunta.

Perguntem antes:

Quero estimar diferenças específicas entre estes níveis, ou quero representar a variação entre unidades de uma população mais ampla?

Se queremos comparar especificamente duas espécies, a diferença entre essas espécies costuma ser um efeito fixo.

Se amostrámos vários recifes para representar variação espacial e não queremos uma conclusão separada para cada recife, recife pode funcionar como efeito aleatório.

A mesma variável pode desempenhar papéis diferentes em estudos diferentes.

4 Estrutura e Replicação

Intra- e Inter-Unidades

Um factor é intra-unidades (within) ou inter-unidades (between) relativamente a uma unidade identificada. Com pessoas, usamos intra-participantes e inter-participantes.

Num estudo com peixes dentro de tanques:

  • o tempo pode variar dentro de cada peixe;
  • o tratamento pode variar entre tanques;
  • vários peixes podem partilhar o mesmo tanque.

Portanto, dizer apenas «tratamento é inter-unidades» é incompleto. Que unidades?

Esta pergunta é especialmente importante em dados biológicos, onde podemos ter organismos, tanques, parcelas, locais e campanhas todos na mesma base de dados.

NotaMesmo Factor, Unidades Diferentes

Suponham que cada linha inicial corresponde a um espécime diferente e queremos testar species. Vários espécimes podem ter a mesma espécie sem que isso crie medidas repetidas. Species é, nesse caso, um factor inter-unidades. O que se repete é o nível do factor, não a unidade de observação.

Nos briozoários deste capítulo acontece algo diferente ao mesmo tempo: Species é inter-unidades, mas Stage é medido repetidamente dentro da mesma Unit. É essa repetição de Unit que precisa de ser representada pelo termo de medidas repetidas.

Se os espécimes estiverem ainda agrupados em tanques, recifes, colónias ou outros conjuntos relevantes, esse nível também precisa de ser considerado. Incluir Species nos efeitos fixos responde à pergunta sobre espécies. Não faz desaparecer dependência criada por outro agrupamento.

DicaAgrupar Não É Repetir

Há outro problema de níveis que não é medidas repetidas: juntar grupos pode até inverter a direcção de uma associação. Vejam o paradoxo de Simpson com os Palmer Penguins.

Nesse exemplo, cada linha continua a ser um espécime diferente e species é um factor inter-unidades. O problema é que a associação agregada mistura diferenças entre espécies com a associação dentro das espécies.

Tanques, Peixes e Pseudorreplicação

Imaginem um tratamento térmico atribuído a tanques. Cada tanque contém vários peixes.

A estrutura é:

peixe → tanque → tratamento

Uma linha pode representar um peixe, mas o tratamento varia ao nível do tanque.

Se tivermos vários tanques por tratamento, um modelo possível é:

lme4::lmer(crescimento ~ tratamento + (1 | tanque), data = dados)

Os peixes do mesmo tanque partilham ambiente e tratamento, e o efeito aleatório representa essa semelhança.

Mas suponham agora que existe apenas um tanque de controlo e um tanque aquecido. Medir 30 peixes em cada tanque não cria 30 réplicas independentes do tratamento. Tratamento e tanque estão perfeitamente confundidos.

Este é o problema clássico da pseudorreplicação (Hurlbert, 1984).

ImportanteO Modelo Não Cria Réplicas

Um modelo misto pode representar dependência entre unidades que existem.

Não pode criar tanques que nunca foram replicados.

Antes de escolher a fórmula, identifiquem sempre a que nível o preditor foi atribuído ou varia independentemente.

Estruturas Aninhadas e Cruzadas

Nem todo o agrupamento tem a mesma geometria.

Se vários quadrados pertencem a cada recife, podemos ter uma estrutura aninhada:

lme4::lmer(cobertura ~ impacto + (1 | recife/quadrado), data = dados)

Se várias fotografias são classificadas por vários observadores, fotografias e observadores podem estar cruzados:

lme4::lmer(
  cobertura ~ tratamento + (1 | fotografia) + (1 | observador),
  data = dados
)

A sintaxe vem depois da pergunta:

que observações partilham a mesma fonte de variação?

Construir o Modelo Misto

Testar as hipóteses de um delineamento e seleccionar um modelo para previsão são tarefas diferentes. Ambas são legítimas, mas podem exigir procedimentos diferentes. Aqui seguimos sobretudo Singmann e Kellen (2019), tendo também em conta Barr et al. (2013), Keep it maximal e os capítulos da PsyTeachR.

Efeitos Fixos

Num delineamento factorial A × B, representamos normalmente A, B e A × B, mesmo quando esperamos que algum efeito seja nulo. Retirar termos porque não foram significativos muda a análise à luz dos resultados e pode alterar o significado dos outros testes. É uma estratégia diferente da ANOVA confirmatória habitual.

Como vimos na comparação de modelos, cada linha de uma tabela ANOVA testa uma comparação entre modelos, ou uma restrição sobre parâmetros. Um factor com vários níveis é representado por vários contrastes, que o teste omnibus avalia em conjunto. Não precisamos de ajustar manualmente um modelo novo para cada linha.

Uma tabela Tipo II ou III, com hipóteses e codificação apropriadas, reúne estes testes. Nos modelos mistos precisamos ainda de especificar como obtemos os graus de liberdade e os valores-p. As comparações explícitas continuam úteis para perguntas específicas.

Estrutura Aleatória

Começamos pelas unidades que criam dependência, como pessoas, itens ou tanques. Incluímos interceptos aleatórios e começamos por declives aleatórios para os efeitos que variam dentro de cada unidade, incluindo interacções pertinentes. Não estimamos um declive dentro da pessoa para um factor que só varia entre pessoas.

Se A e B variam dentro de cada pessoa, uma estrutura candidata, quando há replicação suficiente, é:

lme4::lmer(y ~ A * B + (1 + A * B | pessoa), data = dados)

Esta estrutura permite variação entre pessoas nos efeitos de A, B e A × B e nas suas correlações. Contudo, máximo justificado não significa máximo que conseguimos escrever: com poucos dados ou sem replicação por célula, alguns componentes podem não ser identificáveis.

Singmann e Kellen propõem uma maneira praticável de começar pelo máximo justificado pelo delineamento: tentar ajustar essa estrutura, diagnosticar os problemas e, se não for possível estimá-la adequadamente, simplificar apenas o necessário. O ponto de partida é, portanto, a estrutura máxima justificada, não uma estrutura mínima nem um meio-termo escolhido à partida. Uma estrutura aleatória complexa pode ser importante mesmo que não tenhamos formulado uma hipótese substantiva sobre a variação dos declives. O seu papel pode ser representar heterogeneidade relevante para testar correctamente os efeitos fixos.

Há uma tentação diferente: começar apenas com interceptos aleatórios e manter essa estrutura porque «não prevemos que os declives variem». Mas não prever heterogeneidade não demonstra que ela não existe. Se os declives realmente variam e o modelo os ignora, os testes dos efeitos fixos podem tornar-se demasiado liberais. E se a variação for muito pequena, o modelo mais rico pode estimar uma variância próxima de zero ou apresentar singularidade; isso é informação sobre o que os dados conseguem sustentar, não uma razão para omitir os declives à partida.

Outra estratégia começa com interceptos aleatórios e só acrescenta declives quando testes sucessivos os consideram significativos. Esta selecção ascendente, sobretudo com critérios convencionais rígidos, não equivale à proposta de Singmann e Kellen e pode eliminar componentes necessários para representar a dependência. Também não devemos confundi-la com a selecção descendente liberal estudada por Matuschek e colaboradores.

Erro de Tipo I e Poder

Entre a proposta maximalista de Barr et al. (2013) e a selecção agressiva de estruturas mínimas, Matuschek et al. (2017) estudaram, por simulação, um compromisso entre erro de Tipo I e poder. Ignorar declives aleatórios que realmente variam entre unidades pode tornar os testes dos efeitos fixos demasiado liberais. Por outro lado, estimar uma estrutura excessivamente complexa, pouco sustentada pelos dados, pode reduzir o poder (aumentando o erro de Tipo II).

Uma das estratégias avaliadas parte de uma estrutura rica e faz selecção descendente dos componentes aleatórios com testes por razão de verosimilhanças, usando um critério liberal para conservar complexidade (por exemplo, (_{}=.20), em vez de .05). A intenção é evitar remover componentes com base em evidência fraca. Nas situações simuladas, esta estratégia melhorou o poder relativamente a alguns modelos máximos sem um aumento substancial do erro de Tipo I.

Isto não é uma receita universal, nem significa seleccionar os efeitos fixos da hipótese científica pelos respectivos valores-p. A validade da estratégia depende do delineamento e das estruturas que os dados permitem estimar. A nossa preferência pedagógica continua a ser começar pelo delineamento e simplificar com justificação, mas este estudo mostra por que «manter tudo sempre» e «usar apenas interceptos aleatórios» também não são regras suficientes.

Diagnosticar e Simplificar

Se o modelo máximo não converge, verificamos primeiro os dados, a codificação, as escalas, os optimizadores e se os componentes pedidos podem ser identificados. Um aviso de convergência e um ajuste singular não são sinónimos. No segundo caso, a matriz estimada de covariâncias aleatórias tem posto reduzido, como pode acontecer com variâncias próximas de zero ou correlações extremas.

Quando é preciso simplificar, seguimos uma sequência tão conservadora quanto possível: primeiro podemos tentar retirar correlações entre efeitos aleatórios (por exemplo, com estruturas descorrelacionadas); depois, se necessário, reduzir declives de interacções de ordem superior e só mais tarde componentes de ordem inferior.

A sintaxe || permite especificar termos aleatórios sem certas correlações, mas em lme4 não funciona de forma inteiramente automática com factores. A função afex::mixed() disponibiliza expand_re = TRUE, que expande os termos de factores em colunas numéricas e permite usar || para esses contrastes. Podemos ver como se faz no exemplo prático de simplificação da estrutura aleatória.

Documentamos as decisões e, quando possível, verificamos se as conclusões sobre efeitos fixos se mantêm noutras estruturas que os dados permitam estimar. Nem um aviso prova que o modelo está errado, nem a ausência de avisos prova que a estrutura é adequada. Um modelo problemático pode fornecer informação para uma análise de sensibilidade, mas não é automaticamente uma referência fiável.

Do Omnibus aos Contrastes

O modelo misto não nos obriga a abandonar a lógica da ANOVA. Depois de definirmos os efeitos fixos e a estrutura de dependência, podemos obter testes omnibus para os termos do modelo e estudar médias marginais estimadas (estimated marginal means, EMMs).

O pacote emmeans calcula essas médias a partir do mesmo modelo ajustado e permite pedir contrastes planeados, comparações entre pares, efeitos simples e correcções para multiplicidade. Não precisamos de dividir os dados em subconjuntos nem reajustar modelos para cada par de níveis. Tal como no capítulo anterior, fazemos perguntas diferentes sobre as previsões e os contrastes do modelo. As suas interpretações dependem da parametrização, das interacções e da estrutura de inferência escolhida.

De Onde Vêm os Valores-p?

O pacote lme4 não apresenta por defeito valores-p dos coeficientes fixos no resumo de um modelo linear misto. Em delineamentos finitos, especialmente desequilibrados, os graus de liberdade do denominador não são tão simples como na ANOVA clássica.

Satterthwaite aproxima esses graus de liberdade. Kenward–Roger também ajusta a incerteza estimada dos efeitos fixos; pode ser mais dispendioso computacionalmente e não é universalmente superior. Pacotes como lmerTest e afex permitem usar estas aproximações para testes de efeitos fixos.

Também podemos comparar modelos aninhados por razão de verosimilhanças (likelihood-ratio test, LRT), usando a distribuição qui-quadrado como referência assintótica. Para comparar estruturas de efeitos fixos por LRT, os modelos devem ser ajustados por ML, não REML.

Um bootstrap paramétrico pode calibrar o teste, mas exige mais cálculo. Testar variâncias aleatórias iguais a zero requer cuidados adicionais: a hipótese está na fronteira do espaço paramétrico.

A nossa opção: manter a estrutura fixa justificada pela pergunta científica, começar pela estrutura aleatória justificada pelo delineamento, simplificar esta última de forma fundamentada quando necessário e declarar claramente o método de inferência usado. Não escolhemos a estrutura que produz o valor-p mais conveniente.

5 Um Roteiro Para Ler Estes Modelos

Quando virem uma análise de medidas repetidas ou um modelo misto, não comecem pela fórmula. Façam estas perguntas:

  1. O que representa uma linha?
  2. Qual é a unidade que aparece repetidamente?
  3. Qual é a pergunta científica?
  4. O preditor varia dentro ou entre que unidades?
  5. Que diferenças estáveis entre unidades precisam de ser separadas do erro?
  6. O efeito do preditor pode plausivelmente variar entre unidades?
  7. Há outros agrupamentos, aninhados ou cruzados?
  8. O delineamento contém réplicas independentes no nível em que queremos fazer inferência?

Depois disso, a fórmula deixa de parecer uma língua secreta. Passa a ser uma descrição abreviada das respostas.

6 Síntese

A passagem de modelos lineares para medidas repetidas não exige abandonar a ideia central do capítulo anterior.

Continuamos a perguntar:

Dados = Modelo + Erro. Que parte do modelo representa a pergunta e que variabilidade é o erro certo para a avaliar?

Quando uma unidade aparece várias vezes, o erro deixa de poder ser tratado como se todas as linhas fossem independentes.

A ANOVA de medidas repetidas separa diferenças entre unidades da variabilidade dentro das unidades. Num caso simples, conseguimos ver isso directamente pondo a unidade no modelo e comparando um modelo compacto com um aumentado.

Os modelos mistos levam a mesma ideia mais longe. Permitem representar interceptos, declives e várias fontes de agrupamento sem transformar cada unidade num coeficiente fixo separado.

E há um limite que nenhum método ultrapassa: um modelo pode reconhecer a estrutura do delineamento; não pode criar replicação que o delineamento não teve.

No tutorial prático usamos estas ideias para ajustar ANOVAs com aov_4() e primeiros modelos mistos.

7 Exercícios

  1. Trinta pessoas são medidas antes e depois de uma intervenção. Explique por que há 60 linhas mas apenas 30 pares independentes. Mostre como o problema pode ser reduzido a uma média de diferenças.
  2. No exemplo manhã/tarde/noite, explique por palavras o que fica no modelo compacto resposta ~ unidade e o que é libertado quando acrescentamos momento.
  3. Explique por que o denominador do F para momento deve reflectir variabilidade dentro das unidades e não diferenças estáveis entre unidades.
  4. Um tratamento é atribuído a quatro tanques e há vinte peixes em cada tanque. Qual é a unidade de replicação do tratamento? O que representam os peixes?
  5. Explique a diferença substantiva entre (1 | colonia) e (temperatura | colonia).
  6. Dê um exemplo de agrupamento aninhado e outro de agrupamento cruzado.
  7. Um modelo misto é singular. Diga três perguntas que faria antes de remover termos automaticamente.

8 Leituras

Barr, D. J. (2021). Learning statistical models through simulation in R: An interactive textbook (Version 1.0.0). https://psyteachr.github.io/stat-models-v1/

Greenhouse, S. W., & Geisser, S. (1959). On methods in the analysis of profile data. Psychometrika, 24(2), 95–112. https://doi.org/10.1007/BF02289823

Harrison, X. A., Donaldson, L., Correa-Cano, M. E., Evans, J., Fisher, D. N., Goodwin, C. E. D., Robinson, B. S., Hodgson, D. J., & Inger, R. (2018). A brief introduction to mixed effects modelling and multi-model inference in ecology. PeerJ, 6, e4794. https://doi.org/10.7717/peerj.4794

Bolker, B. M., Brooks, M. E., Clark, C. J., Geange, S. W., Poulsen, J. R., Stevens, M. H. H., & White, J.-S. S. (2009). Generalized linear mixed models: A practical guide for ecology and evolution. Trends in Ecology & Evolution, 24(3), 127–135. https://doi.org/10.1016/j.tree.2008.10.008

Hurlbert, S. H. (1984). Pseudoreplication and the design of ecological field experiments. Ecological Monographs, 54(2), 187–211. https://doi.org/10.2307/1942661

Huynh, H., & Feldt, L. S. (1976). Estimation of the Box correction for degrees of freedom from sample data in randomized block and split-plot designs. Journal of Educational Statistics, 1(1), 69–82. https://doi.org/10.3102/10769986001001069