Inferência: As Ideias Básicas
Desenho Experimental e Análise Avançada de Dados Ecológicos
A Moeda Tem Vício?
Como a testaríamos?
🪙 → cara ou coroa
Começar pela proposta dos alunos: lançar quantas vezes? O que contar? Que resultado os convenceria? Ainda não fornecer um limiar. A moeda é uma ponte intuitiva; depois regressaremos às perguntas de biologia marinha.
Justa ou Viciada?
Justa
\(0.5\)
Viciada
Diferente de \(0.5\)
A pergunta inclui os dois sentidos do desvio.
Não estamos apenas a perguntar se favorece caras. Uma moeda que favoreça coroas também é viciada. Fixamos esta pergunta antes de observar os dados. «Justa» descreve a probabilidade em cada lançamento sob o procedimento escolhido; a independência entre lançamentos é uma suposição adicional.
Começar Pelo Cepticismo
Suponhamos que é justa.
\[
P(\text{cara})=0.5 \qquad \text{lançamentos independentes}
\]
O que poderia acontecer em 10 lançamentos ?
Nota: não é cepticismo em sentido estrito. A física pode prever um lançamento; sem conhecer todas as forças, modelamos uma moeda justa com probabilidades 50/50.
Esta é a hipótese nula, ainda sem exigir que memorizem o nome. Escolhemos dez lançamentos de antemão; não paramos assim que surgir um resultado convincente. Um procedimento diferente exige outro modelo.
Cinco em Dez?
Em média, esperamos cinco caras.
Mas cada série de dez tem de dar cinco?
Como Varia a Contagem?
Uma distribuição dá probabilidades aos resultados possíveis.
Perguntar o que representa cada barra: a probabilidade que o modelo atribui a essa contagem. Somadas, dão um. A forma vem do número de sequências que produzem cada contagem: há muitas maneiras de obter cinco caras e só uma de obter dez. O nome é distribuição binomial: dez tentativas independentes com a mesma probabilidade de cara. Uma só série não terá de reproduzir a distribuição.
O Que Estamos a Modelar?
A variação entre séries, se a moeda for justa.
\[X \sim \operatorname{Binomial}(10, 0.5)\]
X conta caras. O modelo resume aquilo que tratamos como acaso neste procedimento. A trajectória física pode depender da posição inicial, da força e do movimento do ar. Para a nossa pergunta, supomos probabilidade .5 constante e independência. Desvios podem pôr em causa a justiça da moeda ou estas outras suposições.
E Um Dado?
Justo: cada uma das seis faces tem probabilidade \(1/6\) .
Há seis categorias, em vez de duas. Em sessenta lançamentos esperamos dez ocorrências por face em média, mas não exactamente dez em cada série. Contar só os seis não basta para avaliar toda a justiça: outras faces podem ter probabilidades desiguais mantendo P(6)=1/6.
Comparar o Conjunto
Dados fictícios · linha: contagem esperada sob justiça
Precisamos de uma medida global de discrepância entre contagens observadas e esperadas. O teste de ajustamento qui-quadrado é uma possibilidade: soma (observado-esperado)^2/esperado nas seis faces. Não o calcular aqui; recuperar a ideia de comparar o resultado com a variação do modelo. Contagens e proporções . Voltamos à moeda para construir o valor-p sem uma fórmula nova.
Oito Caras
Resultado imaginado: 8 caras em 10 lançamentos.
Oito é impossível com uma moeda justa?
Oito É Uma Contagem
\[P(X=8\mid\text{justa})\approx 0.044\]
Mas 9 ou 10 caras também levantariam suspeitas.
E 0, 1 ou 2 ?
Dar tempo para recordar a pergunta bilateral. Observar uma contagem específica é diferente de obter uma discrepância pelo menos tão grande. Cada extremo isolado é raro; precisamos de reunir os resultados que constituiriam tanta ou mais evidência contra o modelo pela regra escolhida.
Tão Longe ou Mais
\[p=P(X\leq2\text{ ou }X\geq8\mid\text{justa})\approx 0.109\]
Neste exemplo simétrico, a distância |X-5| define os resultados extremos nos dois sentidos. Somar as seis barras, não apenas a barra de oito. Uma pergunta unilateral, definida de antemão, somaria outra região. Não escolher o lado depois de ver o resultado. Outras distribuições podem exigir outras definições bilaterais: não generalizar esta simetria mecanicamente.
Agora, os Nomes
\(H_0\) :
Valor-p : probabilidade, sob \(H_0\) e os pressupostos, de uma estatística tão extrema ou mais do que a observada.
Do processo ao valor-p
Menor p , Maior Discrepância
6
0.754
8
0.109
9
0.021
10
0.002
Com o mesmo modelo e teste, resultados mais extremos são mais difíceis de conciliar com \(H_0\) .
O p é calculado assumindo H0; não é a probabilidade de H0 ser verdadeira. Para avaliar a dimensão do viés e a sua importância, precisamos também de estimar a probabilidade de cara. Um p pequeno pode apontar para problemas na justiça da moeda ou noutras suposições do modelo.
Fisher: Evidência
Até que ponto este resultado destoa de \(H_0\) ?
Modelo → distribuição → resultado → valor-p
Fisher (1925), cap. I · Discussão e história
Fisher tornou influente o uso de testes de significância para examinar se os dados estão em harmonia com uma hipótese. O texto de 1925 também usa níveis convencionais. Aqui destacamos a pergunta evidencial; a seguir, examinamos o comportamento de uma regra de decisão a longo prazo. Historicamente, estas preocupações cruzaram-se.
Quando Basta?
Precisamos de uma decisão?
Antes de recolher dados: escolher teste, amostragem e critério.
Por exemplo, \(\alpha=.05\) \(H_0\) se \(p\leq\alpha\) .
O limiar .05 é uma escolha convencional para a regra de decisão. A conclusão científica exige ainda estimativas, pressupostos, relevância e evidência de outros estudos. O controlo de erro pressupõe que cumprimos o plano de testes e recolha.
Neyman–Pearson: A Regra
\(H_0\) —
Erro de Tipo I
Alternativa especificada
Erro de Tipo II
Detectar
Como se comporta o procedimento em muitas repetições?
Alternativas e erros
Neyman e Pearson estudam regras de teste face a alternativas e probabilidades de erro. Contrastar o desempenho do procedimento com a evidência num resultado, sem reduzir a sua filosofia a um automatismo ou fazer uma narrativa de substituição de Fisher. A ligação à teoria contém as fontes originais e nuances. Não rejeitar não demonstra que H0 seja verdadeira.
A Regra na Moeda
\(p\leq.05\) → rejeitar com 0, 1, 9 ou 10 caras.
Com oito caras não rejeitaríamos por esta regra, embora haja mais desvio do equilíbrio do que com seis. O limiar transforma uma escala de discrepância numa decisão. Perguntar o que acontece com nove.
Falsos Positivos
\[P(\text{rejeitar }H_0\mid H_0) = 0.0215 \leq .05\]
Mesmo justa, a moeda pode produzir uma destas contagens.
Aqui a taxa efectiva é aproximadamente 2.15%, abaixo do nível nominal de 5%. As contagens são discretas: não conseguimos escolher uma fracção de uma barra sem aleatorizar a decisão. Este teste exacto é conservador. O denominador são séries produzidas sob H0; não são todas as rejeições. Não é a probabilidade de a hipótese ser verdadeira após rejeitar.
E Se Fosse Viciada?
Alternativa concreta: \(P(\text{cara})=0.8\) .
Mesmos 10 lançamentos . Mesma regra .
Detectaríamos sempre?
A alternativa tem de ser especificada para calcular poder. «Há algum viés» não fornece um único poder: uma moeda .51 é mais difícil de distinguir de .5 do que uma .8 com o mesmo plano.
Mesma Regra, Outra Distribuição
Poder e Falhas
\[\text{Poder}=P(\text{rejeitar}\mid P(\text{cara})=.8)\approx 0.376\]
\[\beta=P(\text{não rejeitar}\mid P(\text{cara})=.8)\approx 0.624\]
Poder = \(1-\beta\) , para esta alternativa e este plano.
Somamos as probabilidades nas mesmas regiões, agora sob .8. Uma moeda bastante viciada ainda passa despercebida muitas vezes com dez lançamentos. Isto mostra por que não rejeitar não demonstra justiça. Não calcular «poder observado» a partir do viés estimado como se trouxesse nova evidência: aqui fazemos um cálculo de planeamento com .8 especificado.
Mais Lançamentos?
O poder depende do viés e do número de lançamentos.
Mostrar primeiro o ponto .8 em cada curva. O critério nominal continua .05, mas a região crítica muda com n. Nas probabilidades abaixo de .5 teríamos curvas simétricas. Perto de .5, os dados das duas situações sobrepõem-se muito. Mais observações só oferecem este ganho se forem adequadamente modeladas: a dependência não desaparece por termos mais linhas.
Da Moeda ao Mar
E se a resposta for uma medição, não uma contagem?
Tempo de um caranguejo se endireitar após ser virado, em segundos.
Cenário didáctico, não um protocolo a executar com animais. Pergunta: que média teria o processo? Mantemos a lógica de variação entre amostras, mas a estatística passa de contagem para média.
Uma Medição, Uma Média
Cada valor = a média de uma nova amostra simulada.
O primeiro painel tem n=1: mostra a forma das medições individuais. O modelo populacional é exponencial, com média 4 s. Cada painel usa 3000 amostras independentes do mesmo processo hipotético. A janela corta a cauda direita, sobretudo em n=1, para permitir a comparação. Não são dados de caranguejos reais. A distribuição populacional não mudou.
Limite Central
Médias de amostras maiores → distribuição aproximadamente normal.
Mesmo quando as medições individuais são assimétricas.
Teorema do limite central
Na versão clássica, amostras independentes da mesma distribuição com variância finita. A média padronizada aproxima-se de uma normal à medida que n cresce; a velocidade depende da distribuição. Não há um n universal que resolva caudas, dependência ou uma amostragem inadequada. Voltar aos três painéis: a dispersão das médias também diminuiu.
Dois Desvios-Padrão
Medições individuais
Desvio-padrão: \(s\)
Médias entre amostras
Erro-padrão: \(SE_{\bar x}\)
\[\widehat{SE}_{\bar x}=\frac{s}{\sqrt n}\]
A fórmula estima o desvio-padrão da distribuição amostral da média sob independência e variância comum. Com a mesma dispersão, quatro vezes mais unidades reduzem o erro-padrão a metade. Mais leituras do mesmo animal não são automaticamente mais unidades independentes.
Voltar à Pergunta
Os caranguejos deslocam-se, em média, para um dos lados?
Exemplo fictício: 24 indivíduos, uma medição por indivíduo.
Usaremos estes mesmos dados na próxima aula. São números construídos para ensinar, não observações de uma população. Imaginar indivíduos identificados, em arenas separadas orientadas no eixo mar–rochas, um por arena, sob o mesmo procedimento. Admitimos independência. Zero significa deslocamento nulo nesse eixo; uma média zero permite movimentos individuais nos dois sentidos.
Distância em Erros-Padrão
\[t=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}\]
Aqui \(H_0:\mu=0\) , portanto \(t=\bar x/SE_{\bar x}\)
\[t=\frac{0.76}{0.323}\approx 2.37\]
O numerador mede distância à média de referência; o denominador exprime essa distância na escala da incerteza. A referência é zero por significado biológico do eixo, não porque todos os testes de médias sejam contra zero. Com outra referência, temos de a subtrair. Valores apresentados arredondados.
Outra Distribuição Nula
Mesma ideia: somar os resultados tão extremos ou mais.
A referência t exacta pressupõe observações independentes da mesma população normal. O CLT pode justificar aproximações em amostras adequadas, mas n=24 não garante robustez para qualquer população. Os dados fictícios ilustram a mecânica; não estabelecem esses pressupostos para uma experiência real. O p inclui as caudas completas, para lá da janela desenhada.
Pedir ao R
<- read.csv ("../../data/intertidal_displacement_demo.csv" )t.test (ds$ displacement_cm, mu = 0 )
One Sample t-test
data: ds$displacement_cm
t = 2.37, df = 23, p-value = 0.027
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.096778 1.431556
sample estimates:
mean of x
0.76417
O caminho é relativo à pasta deste deck: adaptar à pasta do projecto dos alunos. Descarregar os dados fictícios . Apontar no output: t, graus de liberdade, p bilateral, média e intervalo. São os mesmos cálculos do slide anterior, não outro método.
Estimar e Interpretar
Média: 0.76 cm para as rochas.
IC de 95%: [0.10, 1.43] cm.
\(p\approx 0.027\) \(H_0\) e os pressupostos.
A média da amostra é uma descrição. A inferência incide na média do processo hipotético que gerou unidades independentes como estas. Não implica que cada caranguejo vá para as rochas nem identifica uma causa. O intervalo quantifica incerteza sob o modelo; em repetições, o procedimento tem cobertura de 95%. Não atribuímos uma probabilidade posterior ao parâmetro fixo. A relevância biológica de cerca de 0.76 cm dependeria do contexto e da qualidade da medição.
O Que Mudou?
Contagem de caras
Distância em erros-padrão
Distribuição binomial
Distribuição \(t\)
Soma de barras extremas
Área nas caudas
Processo → estatística → distribuição → valor-p .
Para Aprofundar
Usar os exercícios destas páginas para consolidar a interpretação, em vez de acrescentar outra sequência de tarefas ao deck. Uma pergunta oral útil: se não rejeitarmos, que diferenças ainda poderiam ter passado despercebidas?
Próxima Aula
Mesmos caranguejos, outra linguagem:
comparar uma previsão fixa em zero com uma média estimada.
Comparar Modelos
