Bayesianismo

Filosofia da Ciência

João O. Santos

joao.santos@ispa.pt

ISPA

Bayes

Antes dos dados, quão plausível era a hipótese? E depois?

Probabilidade Como Crença

A regra de Bayes permite actualizar uma probabilidade atribuída a uma hipótese à luz dos dados. Nesta leitura, a probabilidade representa o grau de crença racional na hipótese, dadas as informações e pressupostos disponíveis.

Não é uma frequência observada de hipóteses verdadeiras: é uma probabilidade atribuída à hipótese.

Duas Condicionais

Em geral: $$P(D\mid H)\neq P(H\mid D)$$

• $P(D\mid H)$: dados se $H$ for verdadeira.
• $P(H\mid D)$: hipótese depois dos dados, neste modelo.

Actualizar

$$P(H\mid D)=\frac{P(D\mid H)P(H)}{P(D)}$$

$H=$ hipótese; $D=$ dados observados.

O prior exprime a incerteza antes destes dados; a posterior, depois.

Incerteza inicial actualizada pelos dados segundo um modelo.

prior + dados + modelo → posterior

A imagem esquematiza a actualização de uma distribuição sobre valores de um parâmetro; a fórmula mostra a mesma regra para uma hipótese. Não voltar ao cálculo de taxas base: perguntar o que o prior representa e o que muda com os dados. A posterior continua condicionada ao modelo e à informação usada. Não confundir prior sobre parâmetros com probabilidades prévias dos modelos.

Subjectivo e Objectivo

• Bayesianismo subjectivo: probabilidades expressam graus de crença, sujeitos a regras de coerência; podem diferir entre pessoas.
• Bayesianismo objectivo: procura restringir ou determinar as probabilidades por princípios formais e pela informação disponível, reduzindo o papel do juízo pessoal.

«Bayesiano» não significa automaticamente «subjectivo».

Escolher um Prior

• Priors informativos podem incorporar conhecimento substantivo.
• Priors fracamente informativos podem regularizar estimativas.
• Priors de referência seguem uma regra formal; não são automaticamente neutros para qualquer pergunta.

Modelos e priors diferentes podem produzir actualizações diferentes.

Factor de Bayes

$$BF_{10}=\frac{P(D\mid M_1)}{P(D\mid M_0)}$$

• Compara dois modelos especificados.
• Depende dos modelos e dos priors.
• Não é uma pontuação universal de verdade.

Exemplo hipotético: $BF_{10}=3$ → estes dados são três vezes mais prováveis sob $M_1$ do que sob $M_0$.

Se um modelo tiver parâmetros, a probabilidade marginal dos dados pondera os valores possíveis pelo prior desse modelo. Comparar com a área de resultados «tão ou mais extremos» do valor-p. Para passar de BF10 = 3 à probabilidade posterior de M1, precisamos também das probabilidades prévias dos modelos.

p vs BF

Valor-p	Factor de Bayes
extremidade sob $H_0$	comparação $M_1/M_0$
teste especificado	modelos e priors especificados

São perguntas diferentes.

Outra Lente

• Bayes: como muda a incerteza sob um modelo e um prior?
• Mayo: que erro relevante poderia o teste ter detectado, dado o resultado?

Perguntas inferenciais diferentes, não «dados vs crenças».

Nesta cadeira privilegio a pergunta de error statistics: que erro relevante teria o teste conseguido revelar na afirmação que fazemos? Comparar esta pergunta de severidade com a actualização da incerteza sob um modelo e um prior.

Para Aplicar

Levamos connosco modelos, incerteza, erros relevantes e evidência.

A seguir: a chamada revolução cognitiva.

Leituras

• Obrigatória: Dienes (2008), capítulo 4 — Bayes and the Probability of Hypotheses.
• Opcional: Notas da cadeira: Bayesianismo e factores de Bayes — em construção.