Provavelmente Isto É Complicado

Filosofia da Ciência

João O. Santos

joao.santos@ispa.pt

ISPA

Provavelmente Isto É Complicado

Como pôr à prova uma hipótese que admite excepções?

Um Cisne Negro

Hipótese	Um Cisne Negro…
Todos os cisnes são brancos.	Contraria a hipótese.
A maioria dos cisnes é branca.	Pode ser perfeitamente compatível.

Mudámos a hipótese. Mudou o que conta contra ela.

Fixar a mesma população de cisnes nas duas afirmações. A primeira é universal; a segunda afirma que a proporção de brancos excede metade. Um cisne negro, por si só, não estabelece essa proporção. Um recenseamento completo poderia decidir a questão para uma população finita; com uma amostra, precisamos de avaliar a passagem dos observados aos não observados. O contraste é lógico, não uma descrição de toda a metodologia de Popper: mesmo uma alegada refutação da primeira hipótese exige avaliar a observação e os pressupostos. Thornton, «Karl Popper», §4.

Cada Caso É Um Caso

As pessoas não são números. Mas podemos medir aspectos do seu comportamento.

Por exemplo: pessoas diferentes demoram tempos diferentes a reconhecer um rosto.

Uma Hipótese Sobre Médias

Hipótese imaginada: nesta população e nesta tarefa, o tempo médio de reconhecimento é de 600 ms.

Uma pessoa demora 850 ms.

A hipótese dizia que todas demorariam 600 ms?

Não. Uma média populacional admite valores individuais diferentes. Especificar população, tarefa, rostos e condições antes de interpretar a hipótese. Nem um valor individual nem uma média amostral diferente de 600 ms constituem automaticamente uma refutação lógica. Precisamos de saber como variariam as medições e as médias se a hipótese fosse adequada. Uma hipótese sobre a média, sozinha, não fornece toda essa distribuição.

Porquê Estatística?

A hipótese admite variabilidade.

Que padrões esperaríamos? Que desvios a poriam em causa?

Da hipótese à inferência

A filosofia da ciência precisa da estatística para discutir a avaliação de hipóteses probabilísticas e de hipóteses sobre agregados, como médias e proporções. Não basta procurar uma excepção individual. Precisamos de ligar a hipótese a um procedimento de observação e avaliar a incerteza. Retomar Mayo: o procedimento teria oportunidade de revelar um erro relevante? Não apresentar a inferência estatística como solução dedutiva para a indução.

Da Amostra à População

Exemplo fictício: 30 voluntários de uma turma.

Descrever	Inferir
A média destes 30 é 620 ms.	O que aprendemos sobre a média da população?

Qual população? Só esta turma? Todos os adultos?

Porquê Filosofia?

O que justifica passar destes casos para outros?

• Quem ficou de fora?
• Que condições se mantêm?
• Que conclusão foi realmente posta à prova?

A inferência vai além dos dados observados. Calcular correctamente não justifica, por si só, escolher uma população-alvo ou transportar um resultado. Este é o problema epistemológico: em que condições os dados sustentam a conclusão pretendida? A estatística precisa de filosofia para explicitar o sentido de evidência, os pressupostos e os limites dessa passagem. Greenland et al. (2016); notas de apoio.

Generalizar Com Que Razões?

Para…	Precisamos de Examinar…
Estimar uma média populacional	Selecção, cobertura e não resposta
Aplicar a outras tarefas	O que muda nas pessoas, estímulos e condições

Mais observações não corrigem, por si só, uma selecção enviesada.

Uma amostra aleatória de uma população definida, com probabilidades de selecção conhecidas, permite fundamentar inferências pelo delineamento, tratando adequadamente não resposta e outras perdas. Não garante que cada amostra seja uma miniatura exacta da população. Uma amostra de conveniência não se torna aleatória por ser grande. Outras vias de generalização exigem pressupostos substantivos e modelos explícitos, bem como evidência sobre a sua adequação. Replicar em condições relevantes ajuda a avaliar o alcance, sem garantir transferência universal. A adequação da amostra depende da pergunta: demonstrar a possibilidade de um processo não é estimar a sua magnitude numa população. Mook (1983), p. 384; Judd et al. (2012).

O Que É Probabilidade?

«A probabilidade de cara é $1/2$.»

Uma frequência? Uma crença? Uma propriedade do processo?

Já precisámos de falar em resultados esperados e em variação entre amostras. Antes de calcular, perguntar o que significam as probabilidades usadas nessa inferência. A mesma notação pode receber interpretações diferentes.

Interpretações da Probabilidade

Interpretação	A Que Se Refere?
Frequência	Frequência relativa a longo prazo
Propensão	Disposição de um processo para produzir resultados
Subjectiva	Grau de crença, dada a informação disponível
Lógica	Grau de suporte entre proposições

Hájek, «Interpretations of Probability», §§3.2–3.5

Mapa inicial, não definições exaustivas nem consenso sobre cada interpretação. A leitura clássica calcula casos favoráveis entre casos possíveis quando estes são equiprováveis; a equiprobabilidade precisa também de justificação. Uma frequência observada numa amostra não é automaticamente a probabilidade exacta do processo. Na leitura subjectiva, crenças podem ser informadas por dados; não se trata de opor «dados» a «opiniões». Há também abordagens bayesianas objectivas. Não identificar toda a filosofia da probabilidade com a oposição frequencista/bayesiana.

Antes de Calcular

• A que se refere a probabilidade?
• Em que informação está condicionada?
• O que permite concluir?

A matemática pode ser a mesma. A interpretação não.

Padrões na Variabilidade

Uma distribuição descreve como os valores se espalham: quais são mais comuns e quais são raros.

Podemos comparar distribuições entre condições, sem supor que todas as pessoas são iguais.

Modelos e Perguntas

Um modelo descreve como os resultados poderiam variar sob certas condições.

Exemplo: que acertos esperaríamos se uma pessoa estivesse apenas a adivinhar?

Distinguir a distribuição dos valores observados de uma distribuição probabilística: esta atribui probabilidades aos resultados possíveis de um processo modelado. Um modelo é uma descrição hipotética, não uma cópia perfeita da realidade. A hipótese e os pressupostos determinam a distribuição; os dados permitem interrogar a sua adequação.

Moeda Equilibrada

Dez lançamentos. Contamos as caras.

$$P(\text{cara})=0.5$$

Pressupostos: lançamentos independentes; mesma probabilidade em todos.

Fixamos dez lançamentos antes de observar resultados. A independência é um pressuposto adicional, não uma consequência de a moeda ser equilibrada. Modelar como aleatório não exige decidir aqui se a física é indeterminista: a trajectória depende de condições que não conhecemos ou controlamos por inteiro. Para este procedimento, avaliamos a utilidade do modelo probabilístico.

A Distribuição Binomial

$X$ conta as caras nos dez lançamentos.

Cada barra corresponde a uma contagem possível, não a uma sequência nem a uma frequência observada. As probabilidades somam um. A distribuição é calculada a partir dos pressupostos; não resulta de lançar dez vezes e transformar os resultados num histograma. Cinco é a contagem mais provável, mas a sua probabilidade é apenas cerca de .246.

O Modelo em Símbolos

$$X\sim\operatorname{Binomial}(n=10,\ p=0.5)$$

Símbolo	Significado
$n$	Número fixo de lançamentos
$p$	Probabilidade de cara em cada lançamento
$X$	Número de caras

Binomial: número fixo de tentativas, dois resultados por tentativa, independência e probabilidade de sucesso constante. «Sucesso» só nomeia o resultado contado; não é um juízo de valor. Não confundir este p, parâmetro do modelo, com uma probabilidade atribuída à hipótese.

Cinco Não É Uma Promessa

Em média: cinco caras por série de dez.

$$P(X=5)\approx .246$$

Uma série com quatro ou seis caras não desmente o modelo.

O valor esperado é n vezes p. Em muitas séries independentes de dez lançamentos, a média das contagens tende para cinco. É uma propriedade da distribuição, não uma obrigação de cada série; cinco é também a contagem mais provável, mas ocorre em apenas cerca de um quarto das séries. Relacionar com a média de 600 ms: também aí os valores individuais e as médias amostrais podem variar. Não estamos a supor que os tempos de reconhecimento tenham uma distribuição binomial.

Um Lançamento, Muitas Repetições

O Que Observamos?	O Que Diz o Modelo?
Um lançamento	Cara ou coroa; cada uma com probabilidade $1/2$
Uma série de dez	Entre zero e dez caras, com as probabilidades do gráfico
Muitas séries de dez	A média das contagens tende para cinco

O valor esperado resume a distribuição das contagens. Para o relacionar com frequências, imaginamos repetir o mesmo procedimento muitas vezes. A média dessas contagens aproxima-se de cinco, embora cada nova série continue a variar. Num lançamento isolado, nem sequer é possível obter «meia cara»: o resultado é cara ou coroa. Também a média populacional de 600 ms não obriga cada pessoa a demorar 600 ms.

Independência

Depois de cinco caras, a próxima tem de ser coroa?

Em lançamentos independentes de uma moeda equilibrada: continua 50/50.

Independentes não significa mutuamente exclusivos. Cara no primeiro e cara no segundo podem ocorrer ambas; conhecer a primeira não altera a probabilidade da segunda sob o modelo. Cara e coroa no mesmo lançamento excluem-se. Duas possibilidades não têm, só por isso, de ser equiprováveis. A proporção de caras tende para metade em muitos lançamentos, sem qualquer mecanismo que «compense» as caras já observadas. Mesmo depois de uma longa sequência, a probabilidade do próximo lançamento permanece 0.5.

Raro Não É Impossível

$$P(X=10)=\frac{1}{1024}\approx .001$$

Dez caras podem acontecer com uma moeda equilibrada.

Que razão teríamos, então, para desconfiar?

A discrepância pode ser evidência contra o modelo sem ser uma contradição lógica. Mas toda a sequência específica é rara: não basta escolher depois dos dados uma descrição que tenha baixa probabilidade. Precisamos de definir que resultados contariam contra a hipótese e avaliar o procedimento. A probabilidade de dez caras sob o modelo não é a probabilidade de o modelo estar correcto.

Duas Distribuições

E se a probabilidade de cara fosse 0.8?

Manter dez lançamentos independentes e uma probabilidade constante em cada modelo. Pedir que localizem cinco e dez caras nos dois painéis. Mudar a hipótese sobre a probabilidade desloca a distribuição dos resultados esperados. As escalas são iguais para permitir a comparação das barras.

Dados e Modelos

Observámos dez caras em dez lançamentos.

Modelo	Probabilidade Dessa Contagem
$P(\text{cara})=0.5$	Cerca de .001
$P(\text{cara})=0.8$	Cerca de .107

Este resultado favorece o segundo modelo face ao primeiro.

Comparar as probabilidades da mesma contagem sob dois modelos especificados. Este é um sentido concreto em que os dados podem apoiar uma hipótese face a outra. Não estamos a calcular a probabilidade de cada hipótese ser verdadeira. A comparação mantém os restantes pressupostos: dez caras também podem levar-nos a investigar a independência ou o procedimento de observação. O segundo modelo é uma alternativa ilustrativa, não a única possível.

Compatível É Suficiente?

Cinco caras são compatíveis com uma moeda equilibrada.

Com apenas dez lançamentos, que desvios conseguiríamos detectar?

Recolher dados que dificilmente revelariam o erro dá pouco apoio à hipótese.

Um resultado compatível pode apoiar uma hipótese quando o procedimento teria boa oportunidade de mostrar uma discrepância relevante se ela fosse falsa. Se o procedimento dificilmente detectaria essa discrepância, a compatibilidade pouco nos diz. Não é uma prova de que a hipótese seja verdadeira. Mayo e Spanos (2006), p. 329.

Da Hipótese à Evidência

Hipótese → pressupostos → distribuição → confronto com os dados.

Que resultados apoiariam ou enfraqueceriam a hipótese?

Fechar o percurso: hipóteses sobre médias e proporções exigem avaliar padrões, não apenas excepções individuais. A inferência precisa de razões para generalizar. As probabilidades dão linguagem e modelos para a incerteza, mas não escolhem por nós a conclusão que os dados sustentam.

Se Houver Tempo

A intuição ajuda — mas nem sempre responde à pergunta certa.

Condicionais, taxas base e pequenas amostras.

Duas Condicionais

Em geral: $$P(A\mid B)\neq P(B\mid A)$$

Probabilidade de doença se o teste for positivo ≠ probabilidade de teste positivo se houver doença.

Taxas Base

Exemplo hipotético: 1000 pessoas, contagens arredondadas.

	Doença	Sem doença
Positivo	9	50
Negativo	1	940

Teste: 90% sensível; 5% de falsos positivos; prevalência 1%.

Entre os positivos: $9/(9+50)\approx 15\%$.

Entre as 990 pessoas sem doença, 5% daria 49.5 falsos positivos; a tabela arredonda para 50. O denominador muda quando mudamos a condição. Relacionar com a próxima aula: probabilidade dos dados sob uma hipótese não é a probabilidade da hipótese dados os resultados.

Pequenas Amostras

Quatro caras seguidas: estranho ou perfeitamente possível?

• Amostras pequenas variam muito.
• Não têm de parecer a população.

Numa moeda equilibrada com lançamentos independentes, quatro caras em quatro têm probabilidade 1/16. Não confundir esta variabilidade amostral com o problema da selecção enviesada: aumentar n pode reduzir a primeira sem resolver o segundo.

Outras Intuições

• Conjunção: $P(A\cap B)\leq P(A)$.
• Disponibilidade: saliência não é frequência.
• Grandes números: a proporção estabiliza sem obrigar sequências curtas a parecerem «equilibradas».

Para a última afirmação, retomar o modelo de lançamentos independentes com probabilidade constante. A lei dos grandes números não obriga a uma compensação no lançamento seguinte.

Leituras

Opcionais

• Hájek — Interpretations of Probability
• Mook (1983)
• Tversky & Kahneman (1974)
• Gigerenzer & Hoffrage (1995)
• Thompson & Schumann (1987)
• Falk (2015)

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